Выделение уравнений продольного движения из полной системы уравнений продольного движения самолета. Полная система уравнений движения самолета Влияние внешних подвесок

УДК 629.7333.015
Математическая модель пространственного движения маневренного самолета, учитывающая нестационарные эффекты отрывного обтекания на больших
углах атаки.
М. А. Захаров.
На основе уточненной модели аэродинамических коэффициентов продольного движения, учитывающей нестационарные эффекты отрывного обтекания при больших углах атаки, построена математическая модельпространственного движения маневренного самолета с приведением ее системы нелинейных дифференциальных уравнений к каноническому виду. Подготовлены исходные данные для введения в программу решения указанной системы на цифровой вычислительной машине. Исходные данные по аэродинамическим коэффициентам взяты из известных (охватывающих диапазоны 0...900 для углов и -400...400 для углов ) и приблизительно спрогнозированыдля углов -7200...7200 по периодическому закону. Построенная модель проиллюстрирована решениями при различных положениях органов управления самолетом.

1 Постановка задачи.
В связи с прогрессом в области вычислительной техники появилась возможность быстрее и точнее находить решение системы нелинейных дифференциальных уравнений пространственного движения самолетов. При этом математический аппарат,полно описывающий это движение, пока еще недостаточно развит. Известны работы, посвященные рассмотрению математических моделей пространственного движения маневренных самолетов (например ). При этом по отдельности предлагаются математическая модель аэродинамических коэффициентов и модель движения (в виде системы дифференциальных уравнений). Однако построение общей (совместной) модели дляпрактического использования вызывает затруднение из-за наличия в составе модели аэродинамических коэффициентов нестационарных составляющих (в частности составляющих, соответствующих структуре отрывного обтекания на крыле). При подстановке аэродинамических коэффициентов в общую систему уравнений последняя на цифровой вычислительной машине не может быть решена. В правой части получающейся системы есть члены,содержащие производные углов атаки и скольжения (,). Другая сложность заключается в том, что в печати практически отсутствует информация об аэродинамических коэффициентах для диапазона изменения углов и . В данной работе делается попытка преодоления этих трудностей.
Ранее, на основе уточненной модели аэродинамических коэффициентов , учитывающей нестационарные эффекты отрывногообтекания при больших углах атаки, была построена математическая модель продольного движения маневренного самолета. Логическим завершением усилий по внедрению уточненной модели аэродинамических коэффициентов должно стать построение модели пространственного движения маневренного самолета, включающей указанную модель коэффициентов.
Необходимо также проиллюстрировать построенную модель решениямипри изменении положения органов управления.

2 Допущения, исходные уравнения и построение математической модели.
Считаем, что жесткий маневренный самолет движется относительно плоской невращающейся Земли при отсутствии ветра. Оси тяги правого и левого двигателей параллельны оси Х связанной системы координат. При этом пространственное движение такого самолета можно выразить следующейсистемой уравнений динамики и кинематики:
; (1)
; (2)
; (3)
; (4)
; (5)
; (6)
; (7)
; (8)
; (9)
где:
; (10)
; (11)
; (12)
– линейная скорость центра масс (ЦМ) самолета; , , – его угловые скорости поворота относительно осей X, Y, Z, связанных ссамолетом , – площадь крыла; – размах крыла; – средняя аэродинамическая хорда крыла; , , – осевые моменты инерции, относительно осей OX, OY, OZ; – угол атаки; – угол скольжения; – угол крена; – угол тангажа; – угол рыскания; – кинетический момент...

В случае анализа динамики самолета, совершающего полет со скоростью, значительно меньшей орбитальной, уравнения движения по сравнению с общшм случаем полета летательного аппарата могут быть упрощены, в частности, можно пре­небречь вращением и сферичностью Земли. Кроме этого сделаем еще ряд упрощающих допущений.

только квазистатически, для текущего значения скоростного напора.

При анализе устойчивости и управляемости самолета будем использовать следующие прямоугольные правые системы осей координат.

Нормальная земная система координат OXgYgZg. Эта система осей координат имеет неизменную ориентацию относительно Земли. Начало координат совпадает с центром масс (ЦМ) самолета. Оси 0Xg и 0Zg лежат в горизонтальной плоскости. Их ориентация может быть принята произвольно, в зависимости от целей реша­емой задачи. При решении навигационных задач ось 0Xg часто направляют к Северу параллельно касательной к меридиану, а ось 0Zg направляют на Восток. Для анализа устойчивости и управляемости самолета удобно принять направление ориента­ции оси 0Xg совпадающим по направлению с проекцией вектора скорости на горизонтальную плоскость в начальный момент вре­мени исследования движения. Во всех случаях ось 0Yg направлена вверх по местной вертикали, а ось 0Zg лежит в горизонтальной плоскости и образует вместе с осями OXg и 0Yg правую систему осей координат (рис. 1.1). Плоскость XgOYg называют местной вертикальной плоскостью.

Связанная система координат OXYZ. Начало координат рас­положено в центре масс самолета. Ось ОХ лежит в плоскости симметрии и направлена вдоль линии хорд крыла (либо парал­лельно какому-либо другому, фиксированному относительно само­лета направлению) к носовой части самолета. Ось 0Y лежит в плоскости симметрии самолета и направлена вверх (при гори­зонтальном полете), ось 0Z дополняет систему до правой.

Углом атаки а называется угол между продольной осью самолета и проекцией воздушной скорости на плоскость OXY. Угол положителен, если проекция воздушной скорости самолета на ось 0Y отрицательна.

Углом скольжения р называется угол между воздушной ско­ростью самолета и плоскостью OXY связанной системы коорди­нат. Угол положителен, если проекция воздушной скорости на поперечную ось положительна.

Положение связанной системы осей координат OXYZ относи­тельно нормальной земной системы координат OXeYgZg может быть полностью определено тремя углами: ф, #, у, называемыми углами. Эйлера. Последовательно поворачивая связанную систему

координат на каждый из углов Эйлера, можно прийти к любому угловому положению связанной системы относительно осей нор­мальной системы координат.

При исследовании динамики самолетов используются следу­ющие понятия углов Эйлера.

Угол рыскания г]) - угол между некоторым исходным напра­влением (например, осью 0Xg нормальной системы координат) и проекцией связанной оси самолета на горизонтальную пло­скость. Угол положителен, если ось ОХ совмещается с проекцией продольной оси на горизонтальную плоскость поворотом вокруг оси OYg по часовой стрелке.

Угол тангажа # - угол между продольно# осью самолета ОХ и местной горизонтальной плоскостью OXgZg, Угол положителен, если продольная ось находится выше горизонта.

Угол крена у - угол между местной вертикальной плоскостью, проходящей через ось ОХ у и связанной осью 0Y самолета. Угол положителен, если ось О К самолета совмещается с местной вер­тикальной плоскостью поворотом вокруг оси ОХ по часовой стрелке. Углы Эйлера могут быть получены последовательными поворотами связанных осей относительно нормальных осей. Бу­дем считать, что нормальная и связанная системы координат в начале совмещены. Первый поворот системы связанных осей произведем относительно оси О на угол рыскания г]; (ф совпадает с осью OYgXрис. 1.2)); второй поворот -относительно оси 0ZX на угол Ф (‘& совпадает с осью OZJ и, наконец, третий поворот произведем относительно оси ОХ на угол у (у совпадает с осью ОХ). Проектируя векторы ф, Ф, у, являющиеся составляющими

вектора угловой скорости движения самолета относительно нор­мальной системы координат, на связанные оси, получим уравне­ния связи между углами Эйлера и угловыми скоростями вращения связанных осей:

со* = Y + sin *&;

o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1.1)

со2 = ф cos у - ф cos Ф sin у.

При выводе уравнений движения центра масс самолета необ­ходимо рассматривать векторное уравнение изменения количества движения

-^- + о>xV)=# + G, (1.2)

где ю - вектор скорости вращения связанных с самолетом осей;

R - главный вектор внешних сил, в общем случае аэродинами-

ческих сил и тяги; G - вектор гравитационных сил.

Из уравнения (1.2) получим систему уравнений движения ЦМ самолета в проекциях на связанные оси:

т (гЗ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)

т iy’dt “Ь У - = Rz + Gz>

где Vx, Vy, Vz - проекции скорости V; Rx, Rz - проекции

результирующих сил (аэродинамических сил и тяги); Gxi Gyy Gz - проекции силы тяжести на связанные оси.

Проекции силы тяжести на связанные оси определяются с ис­пользованием направляющих косинусов (табл. 1.1) и имеют вид:

Gy = - G cos ft cos у; (1.4)

GZ = G cos d sin y.

При полете в атмосфере, неподвижной относительно Земли, проекции скорости полета связаны с углами атаки и скольжения и величиной скорости (V) соотношениями

Vх = V cos a cos р;

Vу = - V sin a cos р;

Выражения для проекций результирующих сил Rx, Rin Rz имеют следующий вид:

Rx = - cxqS — f Р cos ([>;

Rty = cyqS p sin (1.6)

где cx, cy, сг - коэффициенты проекций аэродинамических сил на оси связанной системы координат; Р - гяга двигателей (обычно Р = / (У, #)); Фн - угол заклинення двигателя (фя > 0, когда проекция вектора тяги на ось 0Y самолета-положительна). Далее везде будем принимать = 0. Для определения входящей в выражение для скоростного напора q величины плотности р (Н) необходимо интегрировать уравнение для высоты

Vx sin ft+ Vy cos ft cos у - Vz cos ft sin у. (1.7)

Зависимость p (H) может находиться по таблицам стандартной атмосферы либо по приближенной формуле

где для высот полета И с 10 000 м К ж 10~4 . Для получения замкнутой системы уравнений движения самолета в связанных осях уравнения (13) необходимо дополнить кинематическими

соотношениями, которые позволяют определять углы ориентации самолета у, ft, г]1 и могут быть получены из уравнений (1.1):

■ф = Кcos У — sin V):

■fr = «у sin у + cos Vi (1-8)

Y = со* - tg ft (©у cos y - sinY),

а угловые скорости cov, со, coz определяются из уравнений движе­ния самолета относительно ЦМ. Уравнения движения самолета относительно центра масс могут быть получены из закона измене­ния момента количества движения

-^-=MR-ZxK.(1.9)

В этом векторном уравнении приняты следующие обозначения: ->■ ->

К - момент количества движения самолета; MR - главный мо­мент внешних сил, действующих на самолет.

Проекции вектора момента количества движения К на подвиж­ные оси в общем случае записываются в следующем виде:

К t = I х^Х? ху®у I XZ^ZI

К, Iху^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1.10)

К7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*

Уравнения (1.10) могут быть упрощены для наиболее распростра­ненного случая анализа динамики самолета, имеющего плоскость симметрии. В этом случае 1хг = Iyz - 0. Из уравнения (1.9), используя соотношения (1.10), получим систему уравнений дви­жения самолета относительно ЦМ:

h -jf — — hy («4 — ©Ї) + Uy — !*) = MRZ-

Если за сси OXYZ принять главные оси инерции, то 1ху = 0. В связи с этим дальнейший анализ динамики самолета будем производить, используя в качестве осей OXYZ главные оси инер­ции самолета.

Входящие в правые части уравнений (1.11) моменты являются суммой аэродинамических моментов и моментов от тяги двигателя. Аэродинамические моменты записываются в виде

где тХ1 ту, mz - безразмерные коэффициенты аэродинамических моментов.

Коэффициенты аэродинамических сил и моментов в общем случае выражаются в виде функциональных зависимостей от ки­нематических параметров движения и параметров подобия, за­висящих от режима полета:

у, г mXt = F(а, р, а, Р, coXJ coyj со2, бэ, ф, бн, М, Re). (1.12)

Числа М и Re характеризуют исходный режим полета, поэтому при анализе устойчивости или управляемых движений эти парамет­ры могут быть приняты постоянными величинами. В общем случае движения в правой части каждого из уравнений сил и моментов будет содержаться достаточно сложная функция, определяемая, как правило, на основе аппроксимации экспериментальных данных.

Нарис. 1.3 приведены правила знаков для основных пара­метров движения самолета, а также для величин отклонений органов и рычагов управления.

Для малых углов атаки и скольжения обычно используется представление аэродинамических коэффициентов в виде разложе­ний в ряд Тейлора по параметрам движения с сохранением только первых членов этого разложения. Такая математическая модель аэродинамических сил и моментов для малых углов атаки доста­точно хорошо согласуется с летной практикой и экспериментами в аэродинамических трубах. На основании материалов работ по аэродинамике самолетов различного назначения примем следу­ющую форму представления коэффициентов аэродинамических сил и моментов в функции параметров движения и углов отклонения органов управления:

сх ^ схо 4~ сх (°0»

У ^ СУ0 4" с^уа 4" С!/Ф;

сг = cfp + СгН6„;

тх - itixi|5 — f — ■Ь тхха>х-(- тх -f — /л* (І -|- — J — Л2ЛП6,!

о (0.- (0^- р б б„

ту = myfi + ту хо)х + ту Уыу + р + га/бэ + ту бн;

тг = тг (а) + тг zwz /я? ф.

При решении конкретных задач динамики полета общая форма представления аэродинамических сил и моментов может быть упрощена. Для малых углов атаки многие аэродинамические коэффициенты бокового движения являются константами, а про­дольный момент может быть представлен в виде

mz (а) = mzo + т£а,

где mz0 - коэффициент продольного момента при а = 0.

Входящие в выражение (1.13) составляющие, пропорциональ­ные углам аир, обычно находятся из статических испытаний моделей в аэродинамических трубах или расчетом. Для нахожде-

НИЯ производных, twx (у) необходимо проведение

динамических испытаний моделей. Однако в таких испытаниях обычно происходит одновременное изменение угловых скоростей и углов атаки и скольжения, в связи с чем при измерениях и обра­ботке одновременно определяются величины:

СО — СО- ,

тг* = т2г —mz;

0) , R. Юу I в.

mx* = тх + тх sin а; ту* = Шух ту sin а.

СО.. (О.. ft СО-. СО.. ft

ту% = т,/ -|- tiiy cos а; тх% = тху + тх cos а.

В работе показано, что для анализа динамики самолета,

особенно на малых углах атаки, допустимо представление момен-

тов в виде соотношений (1.13), в которых производные mS и т$

приняты равными нулю, а под выражениями т®х, и т. д.

понимаются величины m“j, т™у [см. (1.14)], определяемые в экс­перименте. Покажем, что это допустимо, ограничив рассмотрение задачами анализа полета с малыми углами атаки и скольжения при постоянной скорости полета. Подставив в уравнения (1.3) выра­жения для скоростей Vх, Vy, Vz (1.5) и производя необходимые преобразования, получим

= % COS а + coA. sina — f -^r . Такое управление конфигурацией крыла при маневре должно выполняться автоматически, так как внимание летчика при пилотировании пере­гружено. Быстродействие приводов, управляющих элементами, ма-. невренной механизации крыла, должно быть достаточным, чтобы гибко изменять их положение, при энергичных маневрах. Однако если такую систему можно создать, то маневренные возможности самолета на малых скоростях значительно возрастают.

Дополнительная литература , с. 104-114, П01, с. 278-294, , с. 339-390.

Контрольные вопросы

1. Какой маневр называется координированным?

2. Почему при координированном маневре в горизонтальной плоскости суще­ствует однозначная свизь между Пуа и уа?

3. Чем ограничено располагаемое значение пуа на малых индикаторных ско­ростях полета? На больших?

4. Почему с ростом пуа.1рес растет минимальная скорость полета Утщ (Яиа треб)?

5. Выведите формулу для і? в. Пр при пуаусТ, определяемом по (7.9). Про­анализируйте зависимость RB. up от высоты.

6. Покажите примерный характер изменения перегрузки пуа при выполнении петли Нестерова, бочки.

Маневренностью самолета называется его способность изменять вектор скорости полета по величине и направлению.

Маневренные свойства реализуются летчиком при боевом маневрировании, которое состоит из отдельных законченных или незаконченных фигур пилотажа, непрерывно следующих друг за другом.

Маневренность является одним из важнейших качеств боевого самолета любого рода авиации. Она позволяет успешно вести воздушный бой, преодолевать ПВО противника, атаковать наземные цели, строить, перестраивать и распускать боевой порядок (строй) самолетов, выводить на объект в заданное время и т. д.

Особое и, можно сказать, решающее значение имеет маневренность для фронтового истребителя, ведущего воздушный бой с истербителем (истребителем-бомбардировщиком) противника. Действительно, заняв выгодное тактическое положение по отношению к противнику, можно его сбить одной-двумя ракетами или огнем даже из единственной пушки. Наоборот, если выгодное положение займет противник (например, «повиснет на хвосте»), то в такой ситуации не поможет любое количество ракет и пушек. Высокая маневренность позволяет также производить успешный выход из воздушного боя и отрыв от противника.

ПОКАЗАТЕЛИ МАНЕВРЕННОСТИ

В самом общем случае маневренность самолета можно полностью охарактеризовать секундным векторным приращением скорости. Пусть в начальный момент времени величина и направление скорости самолета изображается вектором V1 (рис. 1), а через одну секунду - вектором V2; тогда V2=V1+ΔV, где ΔV - секундное векторное приращение скорости.

На рис. 2 изображена область возможных секундных векторных приращений скорости для некоторого самолета при его маневре в горизонтальной плоскости. Физический смысл графика состоит в том, что через одну секунду конца векторов ΔV и V2 могут оказаться только внутри области, ограниченной линией а-б-в-г-д-е. При располагаемой тяге двигателей Рр конец вектора ΔV может оказаться только на границе а-б-в-г, на которой можно отметить следующие возможные варианты маневрирования:

• а - разгон по прямой,
• б - разворот с разгоном,
• в - установившийся разворот,
• г - форсированный разворот с торможением.

При нулевой тяге и выпущенных тормозных щитках конец вектора ΔV может оказаться через секунду только на границе д-е, например, в точках:

• д - энергичный разворот с торможением,
• е - торможение по прямой.

При промежуточной тяге конец вектора ΔV может оказаться в любой точке между границами а-б-в-г и д-е. Отрезок г-д соответствует разворотам при Сyдоп с различной тягой.

Непонимание того факта, что маневренность определяется секундным векторным приращением скорости, т. е. величиной ΔV, иногда приводит к неправильной оценке того или иного самолета. Например, перед войной 1941-1945 гг. некоторые летчики считали, что наш старый истребитель И-16 обладал более высокими маневренными свойствами, чем новые самолеты Як-1, МиГ-3 и ЛаГГ-3. Однако в маневренных воздушных боях Як-1 проявил себя лучше, чем И-16. В чем дело? Оказывается, И-16 мог быстро «поворачиваться», но его секундные приращения ΔV были гораздо меньше, чем у Як-1 (рис. 3); т. е. фактически Як-1 обладал более высокими маневренными свойствами, если вопрос не рассматривать узко, с точки зрения только одной «поворотливости». Аналогично можно показать, что, например, самолет МиГ-21 маневреннее самолета МиГ-17.

Области возможных приращений ΔV (рис. 2 и 3) хорошо иллюстрируют физический смысл понятия маневренности, т. е. дают качественную картину явления, но не позволяют производить количественный анализ, для которого привлекаются различного рода частные и обобщенные показатели маневренности.

Секундное векторное приращение скорости ΔV связано с перегрузками следующей зависимостью:

За счет земного ускорения g все самолеты получают одинаковое приращение скорости ΔV (9,8 м/с², вертикально вниз). Боковая перегрузка nz при маневрировании обычно не используется, поэтому маневренность самолета полностью характеризуется двумя перегрузками - nx и ny (перегрузка - векторная величина, но в дальнейшем знак вектора «->» будет опускаться).

Перегрузки nх и nу являются, таким образом, общими показателями маневренности .

С этими перегрузками связаны все частные показатели:

• rг - радиус разворота (виража) в горизонтальной плоскости;
• wг - угловая скорость разворота в горизонтальной плоскости;
• rв - радиус маневра в вертикальной плоскости;
• время разворота на заданный угол;
• wв - угловая скорость поворота траектории в вертикальной плоскости;
• jx - ускорение в горизонтальном полете;
• Vy - вертикальная скорость при установившемся подъеме;
• Vyэ - скорость набора энергетической высоты и пр.

ПЕРЕГРУЗКИ

Нормальной перегрузкой ny называется отношение алгебраической суммы подъемной силы и вертикальной составляющей силы тяги (в поточной системе координат) к весу самолета:

Примечание 1. При движении по земле в создании нормальной перегрузки участвует и сила реакции земли.

Примечание 2. Самописцы САРПП регистрируют перегрузки в связанной системе координат, в которой

На самолетах обычной схемы величина Ру сравнительно мала и ею пренебрегают. Тогда нормальной перегрузкой будет отношение подъемной силы к весу самолета:

Располагаемой нормальной перегрузкой nyр называется наибольшая перегрузка, которую можно использовать в полете с соблюдением условий безопасности.

Если в последнюю формулу подставить располагаемый коэффициент подъемной силы Cyр, то полученная перегрузка и будет располагаемой.

nyр=Cyр*S*q/G (2)

В полете величина Cyр, как уже условились, может ограничиваться по сваливанию, тряске, подхвату (и тогда Cyр=Cyдоп) или по управляемости (и тогда Cyр=Cyf). Кроме того, величина nyр может ограничиваться по условиям прочности самолета, т. е. в любом случае nyр не может быть больше максимальной эксплуатационной перегрузки nyэ макс.

К названию перегрузки nyр иногда добавляют слово «кратковременная».

Используя формулу (2) и функцию Cyр(M) можно получить зависимость располагаемой перегрузки nyр от числа М и высоты полета, которая изображена графически на рис. 4 (пример). Заметим, что содержание рисунков 4,а и 4,6 совершенно одинаковое. Верхний график обычно используется для различных расчетов. Однако для летного состава удобнее график в координатах М-Н (нижний), на котором линии постоянных располагаемых перегрузок проведены прямо внутри диапазона высот и скоростей полета самолета. Проанализируем рис. 4,6.

Линия nyр=1, очевидно, является уже известной нам границей горизонтального полета. Линия nyр=7 является границей, правее и ниже которой может произойти превышение максимальной эксплуатационной перегрузки (в нашем примере nyэ макс=7).

Линии постоянных располагаемых перегрузок проходят таким образом, что nyp2/nyp1=p2/p1 т. е. между двумя любыми линиями разница в высоте такова, что отношение давлений равно отношению перегрузок.

Исходя из этого, располагаемую перегрузку можно найти, имея на диапазоне высот и скоростей только одну границу горизонтального полета.

Пусть, например, требуется определить nyр при М=1 и H=14 км (в точке А на рис. 4,6). Решение: находим высоту точки В (20 км) и давление на этой высоте (5760 Н/м2), а также давление на заданной высоте 14 км (14 750 Н/м2); искомая перегрузка в точке А будет nyр=14 750/5760 = 2,56.

Если известно, что график на рис. 4 построен для веса самолета G1 а нам требуется располагаемая перегрузка для веса G2, то пересчет производится по очевидной пропорции:

Вывод. Имея границу горизонтального полета (линию nyp1=1), построенную для веса G1, можно определить располагаемую перегрузку на любой высоте и скорости полета для любого веса G2, используя пропорцию

nyp2/nyp1=(p2/p1)*(G1/G2) (3)

Но в любом случае используемая в полете перегрузка не должна быть больше максимальной эксплуатационной. Строго говоря, для самолета, подверженного в полете большим деформациям, формула (3) не всегда справедлива. Однако к самолетам-истребителям это замечание обычно не относится. По величине nyp при самых энергичных неустановившихся маневрах можно определить такие частные характеристики маневренности самолета, как текущие радиусы rг и rв, текущие угловые скорости wг и wв.

Предельной по тяге нормальной перегрузкой nyпр называется такая наибольшая перегрузка, при которой лобовое сопротивление Q становится равным тяге Рр и при этом nx=0. К названию этой перегрузки иногда добавляют слово «длительная».

Вычисляется предельная по тяге перегрузка следующим образом:

• для заданной высоты и числа М находим тягу Рр (по высотно-скоростным характеристикам двигателя);
• при nyпр имеем Pр=Q=Cx*S*q, откуда можно найти Сх;
• из сетки поляр по известным М и Сx находим Су;
• вычисляем подъемную силу Y=Су*S*q;
• вычисляем перегрузку ny=Y/G, которая и будет предельной по тяге, так как при расчетах мы исходили из равенства Рр=Q.

Второй метод расчета применяется, когда поляры самолета есть квадратичные параболы и когда вместо этих поляр в описании самолета даются кривые Сх0(М) и А(М):

• находим тягу Рр;
• запишем Рр = Cр*S*q, где Ср коэффициент тяги;
• по условию имеем Рр = Ср*S*q=Q=Cх*Q*S*q+(A*G²n²yпр)/(S*q), откуда:

Индуктивное сопротивление пропорционально квадрату перегрузки, т. е. Qи=Qи¹*ny² (где Qи¹ - индуктивное сопротивление при nу=1). Поэтому, исходя из равенства Рр=Qo+Qи, можно записать выражение для предельной перегрузки и в таком виде:

Зависимость предельной перегрузки от числа М и высоты полета изображена графически на рис. 5.5 (пример взят из книги ).

Можно заметить, что линий nyпр=1 на рис. 5. является уже известной нам границей установившегося горизонтального полета.

В стратосфере температура воздуха постоянна и тяга пропорциональна атмосферному давлению, т. е. Рp2/Рp1=р2/p1 (здесь коэффициент тяги Ср=const), поэтому в соответствии с формулой (5.4) при заданном числе М в стратосфере имеет место пропорция:

Следовательно, предельную по тяге перегрузку на любой высоте более 11 км можно определить по давлению р1 на линии статических потолков, где nyпр1=1. Ниже 11 км пропорция (5.6) не соблюдается, так как тяга при уменьшении высоты полета растет медленнее, чем давление (вследствие увеличения температуры воздуха), и величина коэффициента тяги Ср падает. Поэтому для высот 0-11 км расчет предельных по тяге перегрузок приходится производить обычным порядком, т. е. с использованием высотно-скоростных характеристик двигателя.

По величине nyпр можно найти такие частные характеристики маневренности самолета, как радиус rг, угловую скорость wг, время tf установившегося виража, а также г, w и t любого маневра, выполняемого при постоянной энергии (прл Pр=Q).

Продольной перегрузкой nх называется отношение разности между силой тяги (считая Рх=Р) и лобовым сопротивлением к весу самолета

Примечание При движении по земле к сопротивлению следует добавить еще и силу трения колес.

Если в последнюю формулу подставить располагаемую тягу двигателей Рр, то получим так называемую располагаемую продольную перегрузку :

Рис. 5.5. Предельные по тяге перегрузки самолета F-4C «Фантом»; форсаж, масса 17,6 m

Расчет располагаемой продольной перегрузки при произвольном значении nу производим следующим образом:

• находим тягу Рр (по высотно-скоростным характеристикам двигателя);
• при заданной нормальной перегрузке ny вычисляем лобовое сопротивление следующим путем:
  ny->Y->Сy->Сx->Q;
• по формуле (5.7) вычисляем nxр.

Если поляра - квадратичная парабола, то можно воспользоваться выражением Q=Q0+Qи¹*ny², в результате чего формула (5.7) примет вид

Вспомним, что при ny=nyпр ямеет место равенство

Подставив это выражение в предыдущее и разервув получим окончательную формулу

Если нас интересует величина располагаемой продольной перегрузки для горизонтального полета, т. е. для ny=1, то формула (5.8) приобретает вид

На рис. 5.6 в качестве примера приведена зависимость nxр¹ от М и Н для самолета F-4C «Фантом». Можно заметить, что кривые nxр¹(M, Н) в другом масштабе примерно повторяют ход кривых nyпр(М, Н), а линия nxр¹=0 точно совпадает с линией nyпр=1. Это и понятно, так как обе эти перегрузки связаны с тяговооруженностью самолета.

По величине nxр¹ можно определить такие частные характеристики маневренности самолета, как ускорение при горизонтальном разгоне jx, вертикальную скорость установившегося подъема Vy, скорость набора энергетической высоты Vyэ в неустановившемся прямолинейном подъеме (снижении) с изменением скорости.

Рис 5 6 Располагаемые продольные перегрузки в горизонтальном полете самолета F-4C «Фантом»; форсаж, масса 17,6 т

8. Все рассмотренные характерные перегрузки (пУ9, пупр, Я*Р> ^лгр1) часто изображаются в виде графика, приведенного на рис. 5.7. Он называется графиком обобщенных характеристик маневренности самолета. По рис. 5.7 для заданной высоты Hi при любом числе М можно найти пур (на линии Сур или п^макс). %Пр (на горизонтальной оси, т. е. при пхр = 0), Лхр1 (при пу=) и пХ9 (при любой перегрузке пу). Обобщенные характеристики наиболее удобны для различного рода расчетов, так как с них можно непосредственно снять любую величину, но они не наглядны ввиду многочисленности этих графиков и кривых на них (для каждой высоты нужно иметь отдельный график, подобный изображенному на рис. 5.7). Рис 5 7 Обобщенные характеристики маневренности самолета на высоте Hi (пример) Чтобы составить полное и наглядное представление о маневренности самолета, достаточно иметь три графиками р (М, Н) -как на рис. 5.4,6; пупр (М, Н) -как на рис. 5.5,6; пх р1 (М, Н) - как на рис. 5 6,6.

В заключение рассмотрим вопрос о влиянии эксплуатационных факторов на располагаемую и предельную по тяге нормальные перегрузки и на располагаемую продольную перегрузку

Влияние веса

Как это видно из формул (5.2) и (5.4), располагаемая нормальная перегрузка пур и предельная по тяге нормальная перегрузка nyпр изменяются обратно пропорционально весу самолета (при постоянных М и Н).

Если задана перегрузка ny, то при увеличении веса самолета продольная располагаемая перегрузка nxр уменьшается в соответствии с формулой (5.7), но простой обратной пропорциональности здесь не наблюдается, так как при увеличении G возрастает и лобовое сопротивление Q.

Влияние внешних подвесок

На перечисленные перегрузки внешние подвески могут влиять, во-первых, через свой вес и, во-вторых, через дополнительное увеличение безындуктивной части лобового сопротивления самолета.

На располагаемую нормальную перегрузку nyр сопротивление подвесок не влияет, так как эта перегрузка зависит только от величины располагаемой подъемной силы крыла.

Предельная по тяге перегрузка nyпр, как это видно из формулы (5.4), уменьшается, если увеличивается Схо. Чем больше тяга и больше разность Ср - Схо, тем меньше влияние сопротивления подвесок на предельную перегрузку.

Располагаемая продольная перегрузка лхр при возрастании Схо также уменьшается. Влияние Схо на nxр становится относительно больше при увеличении на маневре перегрузки nу.

Влияние атмосферных условий.

Для определенности рассуждений будем рассматривать увеличение температуры на 1 % при стандартном давлении р; плотность воздуха р при этом будет на 1 % меньше стандартной. Откуда:

• при заданной воздушной скорости V располагаемая (по Сyр) нормальная перегрузка пур упадет примерно на 1%. Но при заданных индикаторной скорости Vи или числе М перегрузка nур при увеличении температуры не изменится;
• предельная по тяге нормальная перегрузка nyпр при заданном числе М упадет, так как увеличение температуры на 1 % приводит к падению тяги Рр и коэффициента тяги Ср примерно на 2%;
• располагаемая продольная перегрузка nхр при увеличении температуры воздуха также уменьшится в соответствии с падением тяги.

Включение форсажа (или его выключение)

Очень сильно влияет на предельную по тяге нормальную перегрузку nyпр, и располагаемую продольную перегрузку nхр. Даже на скоростях и высотах, где Рр >> Qг, увеличение тяги, например, в 2 раза приводит к увеличению nупр примерно в sqrt(2) раз и к увеличению nхр¹ (при nу = 1) примерно в 2 раза.

На скоростях и высотах, где разность Рр - Qг мала (например, вблизи статического потолка), изменение тяги приводит к еще более ощутимому изменению и nупр и nхр¹.

Что касается располагаемой (по Сyр) нормальной перегрузки nyр, то величина тяги на нее почти не влияет (считая Рy=0). Но следует учитывать, что при большей тяге самолет на маневре теряет энергию медленее и, следовательно, более длительное время может находиться на повышенных скоростях, на которых располагаемая перегрузка nyр имеет наибольшую величину.